STRESZCZENIE: Opisano badania trajektorii ruchu ostrza noża krążkowego w procesie krojenia wkładów książkowych. Ustalono, że największy wpływ na długość drogi, którą przechodzi ostrze noża w papierze, mają: prędkość posuwu wkładu oraz odległość ustawienia wkładu od osi obrotu noża. Przeprowadzone obliczenia umożliwiają dobór kinematycznych parametrów procesu krojenia uwzględniając wielkość drogi ostrza noża podczas krojenia wkładów książkowych nożem krążkowym. ABSTRACT: The paper describes the trajectory of circular knife blade movement in book cutting process. It was found that the greatest influence on the length of the road of the knife blade that goes through in the paper are: feed rate of the book and distance of insertion to knife rotation axis. The calculations allows the selection of the kinematic parameters of the cutting process, taking into account the road of knife blade in the paper of the book during cutting by the circular knife.
Krojenie nożami krążkowymi jest szeroko stosowane w przemyśle papierniczym i poligraficznym [1]. W porównaniu z krojeniem nożem płaskim krojenie za pomocą noża krążkowego charakteryzuje się znaczną zmianą kinematyki procesu krojenia, co doprowadza do zmniejszenia rzeczywistego kąta krojenia w procesie cięcia i podnosi wydajność obróbki. Przy krojeniu nożem krążkowym punkty na krawędzi tnącej noża pokonują w procesie obróbki większą drogę w papierze, co może doprowadzać do przyśpieszonego zużycia ostrza i pogorszenia jakości krojenia. Artykuł poświęcony jest analizie trajektorii ruchu oraz obliczeniu drogi, którą pokonuje ostrze noża krążkowego w procesie krojenia wkładów książkowych.
Zgodnie z przeprowadzoną analizą kinematyki procesu krojenia papieru i tektury nożem krążkowym [2] trajektorię ruchu punktu A na krawędzi ostrza noża podczas cięcia określa się za pomocą równań parametrycznych:
przy krojeniu współbieżnym:
xA(t) = -v0t – R • sin(wt); yA(t) = R • cos(wt) (1)
przy krojeniu przeciwbieżnym:
xA(t) = -v0t + R • sin(wt); yA(t) = R • cos(wt) (2)
gdzie: v0 – prędkość posuwu wkładu książkowego, w – prędkość obrotowa noża krążkowego, t – czas bieżący.
Podczas krojenia każdy punkt na ostrzu noża wykonuje trajektorię o kształcie wydłużonej cykloidy, która jest obliczana wg równań (1) i (2). Przy obliczeniach trajektorii ostrza noża zastosowano schemat obliczeniowy, w którym wkład książkowy jest unieruchomiony, natomiast obracający się nóż krążkowy umownie nasuwa się na wkład z prędkością posuwu v0. Taka metoda upraszcza przeprowadzenie obliczeń badanej trajektorii. Przyjmiemy, że ruch obrotowy noża rozpoczyna się w momencie t = 0, kiedy punkt A na ostrzu noża znajduje się w skrajnym górnym położeniu A0. Na rys. 1 linią punktową przedstawiono obliczone trajektorie punktu A ostrza noża przy krojeniu współbieżnym i przeciwbieżnym.
Charakter zmiany trajektorii punktów ostrza noża zależy od kierunku obrotów, prędkości obrotowej w i promienia R noża krążkowego, prędkości posuwu v0 i grubości krojonego wkładu książkowego b, odległości ustawienia wkładu od osi obrotu noża a. Na rys. 2 przedstawiono charakterystyczne widoki trajektorii punktów ostrza noża przy krojeniu wkładów książkowych ustawionych w różnych odległościach a od osi obrotu noża krążkowego.
Jak widać na rys. 2, całkowita długość trajektorii punktu ostrza noża we wkładzie (sumaryczna droga punktów ostrza noża w papierze) będzie inna dla każdego ustawienia, co wpływa na zmianę drogi punktu ostrza i zużycie krawędzi tnącej noża w procesie obróbki. Dlatego też celowe jest zbadanie pełnej drogi (trajektorii sumarycznej) punktu ostrza noża podczas krojenia w zależności od kinematycznych parametrów procesu obróbki.
Przy krojeniu wkładu książkowego każdy punkt ostrza podczas obrotu noża, np. punkt A, kilkakrotnie kontaktuje się w procesie cięcia z wkładem książkowym, pozostawiając umownie na ścinanej powierzchni ślady, które są ustawione w równych odstępach (rys. 2).
Wejście (wcięcie) wybranego punktu ostrza krawędzi tnącej noża we wkład książkowy podczas rozpoczęcia krojenia odbywa się w punkcie P, a wyjście z wkładu (okresowe zakończenie krojenia) – w punkcie K, pozostawiając umownie na ścinanej powierzchni odcinek śladu trajektorii ostrza (rys. 3). Proces ten powtarza się cyklicznie, a całkowita (sumaryczna) droga, którą przechodzi każdy punkt ostrza podczas krojenia, składa się z sumy długości poszczególnych odcinków P-K.
W celu obliczenia całkowitej drogi, którą przechodzi punkt ostrza noża krążkowego w procesie krojenia wkładu książkowego, skorzystamy ze znanego wzoru do obliczeń długości odcinka linii krzywej określonej równaniami parametrycznymi [3]:
(3)
gdzie xA(t) i yA(t) – funkcje ciągłe opisujące daną krzywą (wg równań 1 i 2), natomiast tp i tk – momenty czasu t odpowiadające kontaktowi ostrza w punktach P i K (rys. 3). Po wyznaczeniu pochodnych otrzymamy funkcję do wyznaczenia drogi L:
(4)
W równaniu (4) górny znak „plus” odpowiada krojeniu współbieżnemu, a dolny znak „minus” – krojeniu przeciwbieżnemu.
Przy rozwiązaniu równań odcinków krojenia zastosowano całkowanie numeryczne stosując oprogramowanie MathCAD oraz wyznaczono warunki brzegowe. Wartości współrzędne yA(t) w punktach P i K określa się wg rys. 3.
Przy obliczeniach krojenia współbieżnego:
yA(tp) = R • cos(wt1) = -a;
yA(tK) = R • cos(wt2) = – (a+b), w przypadku, gdy nóż przecina całą grubość wkładu książkowego (wg rys. 2a i 2b),
yA(tK) = R • cos(wt2) = -R, w przypadku, gdy nóż nie przecina całej grubości wkładu (rys. 1 i rys. 2c).
Wtedy otrzymujemy:
lub
(5)
Przy obliczeniach procesu krojenia przeciwbieżnego uwzględniamy to, że nóż krążkowy musi wykonać co najmniej połowę swojego obrotu przed tym, jak punkt ostrza A wejdzie w kontakt z arkuszami papieru wkładu:
lub
(6)
W celu wyznaczenia liczby odcinków trajektorii (śladów krojenia), które umownie pozostawi ostrze swoim punktem A przy
krojeniu wkładu książkowego na długości l ustalamy, że za jeden
pełny obrót noża posuw noża w kierunku poziomym wyniesie δ = v0T. Wtedy ogólna liczba odcinków (śladów krojenia), które umownie pozostawi punkt A ostrza na powierzchni wkładu o długości l, wyniesie:
(7)
Pełną (sumaryczną) drogę krojenia, którą przechodzi każdy punkt ostrza noża we wkładzie książkowym, obliczamy korzystając z wzorów (4) – (7). Przy obliczeniach przyjmujemy długość krojonego wkładu l taką, żeby na ścinanej powierzchni wkładu mieściły się co najmniej dwa ślady krojenia pozostawione punktem ostrza. Rozwiązanie równania (4) uzyskano metodą numeryczną za pomocą oprogramowania MathCAD, co umożliwiło budowę wykresów zależności drogi punktu noża we wkładzie dla różnych wartości a, b, v0 oraz vR/v0, gdzie vR = w • R.
Wyniki obliczeń umieszczono na rys. 4 i rys. 5. Na wykresach całkowitą długość krojenia przedstawiono w postaci bezwymiarowej L/l, a długość odcinka l przyjęto jako l = 1000 mm. W wyniku przeprowadzonej analizy ujawniono, że całkowita długość krojenia jest nieznacznie większa przy krojeniu z ruchem przeciwbieżnym noża, dlatego też w artykule przedstawiono wykresy umożliwiające ocenę najdłuższej drogi ostrza noża w papierze.
Analizując wykresy na rys. 4 i 5 widać, że największy wpływ na bezwymiarową długość drogi krojenia L/l mają wielkość stosunku liniowej prędkości ostrza noża vR do prędkości posuwu wkładu vo oraz odległość ustawienia wkładu od osi obrotu noża krążkowego a. Wybrany kierunek obrotów noża podczas krojenia (krojenie współbieżne lub przeciwbieżne) nie wpływa znacząco na
zwiększenie drogi ostrza noża w papierze, natomiast droga krojenia znacząco się zwiększa przy niewielkich prędkościach posuwu wkładu oraz maksymalnym ustawieniu ostrza od osi obrotu noża, co może doprowadzać do zwiększonego zużycia krawędzi tnącej noża krążkowego. Przeprowadzone obliczenia umożliwiają odpowiedni dobór kinematycznych parametrów procesu krojenia nożem krążkowym uwzględniając wielkość drogi ostrza noża w papierze podczas krojenia wkładów książkowych.
Literatura:
[1] Kikiewicz Z. Teoria i budowa maszyn papierniczych. Część II, WNT, Warszawa, 1977
[2] Janicki P., Petriaszwili G. Transformacja kinematycznego kąta zaostrzenia ostrza noża w procesach rozkroju tektury i papieru nożami krążkowymi. Opakowanie, 2015, 9, s. 79-81
[3] J. N. Bronsztein, K. A. Siemiendiayew, Matematyka. Poradnik encyklopedyczny, PWN, Warszawa, 1970
Piotr Janicki, Georgij Petriaszwili, Sergey Komarov
Alfa-Print Sp. z o.o.
ul. Świętokrzyska 14A
00-050 Warszawa
